PERTEMUAN 7
Sistem
Bilangan
- Ada beberapa sistem bilangan yang digunakan dalam sistem digital:
- Bilangan Desimal
- Bilangan Biner
- Bilangan Oktal
- Bilangan Heksadesimal
- Bilangan BCD
Bilangan
Desimal
- Bilangan Desimal terdiri atas 10 angka atau lambang,yaitu
- D = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Sistem bilangan desimal disebut juga sistem bilangan basis 10 karena mempunyai 10 digit
- Ciri suatu bilangan desimal adalah adanya tambahan subskrip des atau 10 di akhir suatu bilangan
- Contoh: 357des = 35710 = 357
Bilangan
Bulat Desimal
- Representasi bilangan bulat desimal m digit :
- (dm-1, … di, … , d1, d0) dengan di Î D
- Contoh: Bilangan 357
- Digit 3 = 3×100 = 300 (Most Significant Digit, MSD)
- Digit 5 = 5×10 = 50
- Digit 7 = 7×1 = 7 (Least Significant Digit, LSD)
- Jumlah = 357
Bilangan
Pecahan Desimal
- Representasi Bilangan Pecahan Desimal:
- (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, … , dn) dengan di Î D
- Contoh: Bilangan 245,21
- Koma desimal memisahkan pangkat positif dengan pangkat negatifnya.
- Bilangan 245,21 berarti
- (2 X 10+2) + (4 X 10+1) + (5 X 100) + (2 X 10-1) + (1 X 10-2)
Bilangan
Biner
- Digit bilangan biner disebut binary digit atau bit. Empat bit dinamakan nibble. Delapan bit dinamakan byte. Sejumlah bit yang terdiri dari karakter berupa huruf, angka atau lambang khusus dinamakan word.
- Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan basis dua. Pada sistem bilangan ini hanya dikenal dua lambang, yaitu:
- B = 0, 1.
- Ciri suatu bilangan biner adalah adanya tambahan subskrip bin atau 2 di akhir suatu bilangan
- Contoh: 1010011bin = 10100112.
Bilangan
Bulat Biner
- Representasi bilangan biner bulat m bit adalah sebagai berikut,
- (bm-1, … bi, … , b1, b0) dengan bi Î B
- Sehingga suatu bilangan biner m bit akan mempunyai nilai:
- Bit paling kiri dari suatu bilangan biner disebut bit paling berarti (Most Significant Bit, MSB), sedangkan bit paling kanan disebut bit paling tidak berarti (Least Significant Bit, LSB)
- Contoh : 101 = 1×22 + 0x21 + 1×20 = 4 + 0 + 1 = 5
Bilangan
Pecahan Biner
- Representasi bilangan biner pecahan:
- (dm-1, … di, … , d1, d0, d-1, … , dn) dengan di Î B
- Sehingga suatu bilangan biner pecahan akan mempunyai nilai:
- Contoh :
101,01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1
+ 1×2-2
= 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,25
Konversi
Bilangan Biner Ke Desimal
Contoh
Bilangan Bulat:
- 1010011 =1 X 26 + 0
X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22
+ 1 X 21 + 1 X 20
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 83des
Contoh
Bilangan Pecahan:
- 111,01 = 1 X 22 + 1
X 21 + 1 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 = 7,25des
Konversi
Bilangan Bulat Desimal Ke Biner
- Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan bit yang didapat
- Contoh: Konversi 625des ke biner
- 625 / 2 = 312
sisa 1 (LSB)
312 / 2 = 156 0
156 / 2 = 78 0
78 / 2 = 39 0
39 / 2 = 19 1
19 / 2 = 9 1
9 / 2 = 4 1
4 / 2 = 2 0
2 / 2 = 1 0
1 / 2 = 0 1 (MSB) - Jadi 625des = 1001110001bin
Konversi
Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner
- Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 2. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan bit yang didapat
- Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner
- 0,75 X 2 = 1,50
sisa 1 (MSB)
0,50 X 2 = 1,00 1
0 X 2 = 0,00 0 (LSB) - Jadi 0,75des = 0,110bin
Bilangan
Oktal
- Merupakan sistem bilangan basis delapan. Pada sistem bilangan ini terdapat delapan lambang, yaitu:
- O = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Ciri sistem bilangan oktal adalah adanya tambahan subskrip okt atau 8 di akhir suatu bilangan.
- Contoh: 1161okt = 11618.
Bilangan
Bulat Oktal
- Representasi suatu bilangan oktal bulat m digit adalah sebagai berikut,
- (om-1, … oi, … , o1, o0) dengan oi Î O
Bilangan
Pecahan Oktal
- Representasi bilangan pecahan oktal :
- (om-1, … oi, … , o1, o0, o-1, … , on) dengan oi Î O
Konversi
Bilangan Oktal ke Desimal
- Contoh bilangan bulat:
- 1161okt = 625des
- 1161okt Berarti :
- = 1 X 83 + 1 X 82
+ 6 X 81 + 1 X 80
= 512+64+48+1
= 625des - Contoh bilangan pecahan:
- 13,6okt = 11,75des
- 13,6okt Berarti :
- = 1 X 81 + 3 X 80
+ 6 X 8-1
= 8 + 3 + 0,75
= 11,75des
Konversi
Bilangan Desimal ke Oktal
- Contoh Bilangan Bulat :
- 625des = 1161okt
- 625 / 8 = 78
sisa 1 (LSB)
78 / 8 = 9 6
9 / 8 = 1 1
1 / 8 = 0 1 (MSB) - Contoh Bilangan Pecahan :
- 0,1des = 0,063….okt
- 0,1 X 8 = 0,8
sisa 0 (MSB)
0,8 X 8 = 6,4 6
0,4 X 8 = 3,2 3 (LSB)
Konversi
Bilangan Oktal ke Biner
- Konversi bilangan oktal ke biner lebih mudah dibandingkan dengan konversi bilangan oktal ke desimal. Satu digit oktal dikonversi ke 3 bit biner
- Contoh: 1161okt =
001001110001bin
1 1 6 1
001 001 110 001
- Contoh: 0,063okt =
0,000110011bin
0 6 3
000 110 011
Konversi
Bilangan Biner ke Oktal
- Contoh Bilangan Bulat:
- 1001110001bin = 1161okt
001 001 110 001
1 1
6 1
- Contoh Bilangan Pecahan:
- 0,000110011bin = 0,063okt
000 110 011
0 6
3
Bilangan
Heksadesimal
- Merupakan sistem bilangan basis enam belas. Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik.
- Pada sistem bilangan ini terdapat enam belas lambang, yaitu:
- H = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
- Ciri bilangan heksadesimal adalah adanya tambahan subskrip heks atau 16 di akhir suatu bilangan. Contoh: 271heks = 27116
Bilangan
Bulat Heksadesimal
- Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut,
- (hm-1, … hi, … , h1, h0) dengan hi Î H
Konversi
Bilangan Heksadesimal ke Desimal
- 271heks = 625des
- 271heks
= 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160
= 512 + 112 + 1
= 625des
= 512 + 112 + 1
= 625des
- 0,Cheks = 0,75des
- 0,C heks
=
0 X 160 + 12 X 16-1
= 0 + 0,75
= 0,75des
= 0 + 0,75
= 0,75des
Konversi
Bilangan Bulat Desimal ke Heksadesimal
- Konversi bilangan bulat desimal ke heksadesimal dilakukan dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan 16. Sisa setiap pembagian merupakan digit heksadesimal yang didapat.
- Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal
- 625 / 16 = 39 sisa 1 (LSB)
- 39 / 16 = 2 7
- 2 / 16 = 0 2 (MSB)
- Jadi 625des = 271heks
Konversi
Bilangan Pecahan Desimal ke Heksadesimal
- Konversi bilangan pecahan desimal ke heksadesimal dilakukan dengan cara mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 16. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 16. Langkah ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian merupakan digit yang didapat.
- Contoh: 0,75des = 0,Cheks
- 0,75 X 16 = C
- Contoh: 0,1des = 0,19 …… heks
- 0,10 X 16 = 1,6 sisa 1 (MSB)
- 0,60 X 16 = 9,6 9
dst….
(LSB)
Konversi
Bilangan Heksadesimal ke Biner
- Konversi bilangan heksadesimal ke biner lebih mudah dibandingkan konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Satu digit heksadesimal dikonversi ke 4 bit biner.
- Contoh Bilangan Bulat:
271heks = 1001110001bin - 2 7 1
0010 0111 0001
- Contoh Bilangan Pecahan:
0,19heks = 0,00011001bin
- 0 1 9
0000 0001 1001
Konversi
Bilangan Biner ke Heksadesimal
- Untuk bilangan bulat, kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kanan, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit heksadesimal. Untuk bilangan pecahan, kelompokkan setiap empat bit biner dari paling kiri, kemudian konversikan setiap kelompok ke satu digit heksadesimal.
- Contoh Bilangan Bulat:
1001110001bin = 271heks - 10 0111 0001
2 7 1
- Contoh Bilangan Pecahan:
0,00011001bin = 0,19heks
- 0000 0001 1001
0 1
9
Contoh
Bilangan BCD
- Contoh:
- 011101011000 BCD = 758 10
0111 0101
1000
7 5
8
- Contoh kasus :
Umumnya, termometer digital menggunakan BCD untuk mengemudikan display 3 digit.
Berapa banyak BCD yang dibutuhkan untuk mengemudikan display termometer 3 digit
tersebut? Tampilkan bit untuk temperature 147 derajat!
- Dibutuhkan 12 bit, dengan 4 bit untuk masing-masing digit.
- Bit yang digunakan untuk menampilkan 147 derajat adalah 0001 0100 0111.
Tabel
Konversi Antar Sistem Bilangan
|
desimal
|
biner
|
oktal
|
heksadesimal
|
BCD
|
|
0
|
0000
|
0
|
0
|
0000
|
|
1
|
0001
|
1
|
1
|
0001
|
|
2
|
0010
|
2
|
2
|
0010
|
|
3
|
0011
|
3
|
3
|
0011
|
|
4
|
0100
|
4
|
4
|
0100
|
|
5
|
0101
|
5
|
5
|
0101
|
|
6
|
0110
|
6
|
6
|
0110
|
|
7
|
0111
|
7
|
7
|
0111
|
|
8
|
1000
|
10
|
8
|
1000
|
|
9
|
1001
|
11
|
9
|
1001
|
|
10
|
1010
|
12
|
A
|
0001
0000
|
|
11
|
1011
|
13
|
B
|
0001
0001
|
|
12
|
1100
|
14
|
C
|
0001
0010
|
|
13
|
1101
|
15
|
D
|
0001
0011
|
|
14
|
1110
|
16
|
E
|
0001
0100
|
|
15
|
1111
|
17
|
F
|
0001
0101
|
Sistem
Bilangan Biner Tidak Bertanda
- Terdapat 2 sistem bilangan biner, yaitu bilangan biner tak bertanda dan bilangan biner bertanda. Pada sistem bilangan biner tak bertanda, hanya dikenal bilangan biner posisif dan tidak diijinkan adanya bilangan biner negatif. Di sini semua bit digunakan untuk merepresentasikan suatu nilai.
- Contoh:
- Bilangan biner 4 bit 1100.
A3 A2 A1 A0
1
1 0 0
Pada bilangan biner tak bertanda di atas, nilai bilangan dihitung dari A3
sampai A0. Sehingga,
1100bin = 1 X 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20
= 12des
Sistem
Bilangan Biner Bertanda
- Pada bilangan biner bertanda, bit paling kiri menyatakan tanda, sehingga nilai bilangan dihitung dari A2 sampai A0
- Contoh : 1100bin
- 100bin = 1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20 = 4des
- Jadi 1100 bin = – 4 des
- Pada sistem ini, bit paling kiri yaitu A3 menyatakan tanda negatif atau positif nilai yang diwakilinya. Tanda positif diwakili oleh bit 0 dan tanda negatif diwakili oleh bit 1
- Bit A3 tersebut dinamakan bit tanda (sign bit), sedangkan bit-bit yang lain, yaitu bit A2 sampai A0 mewakili suatu nilai
Bilangan
Biner Komplemen Satu
- Terdapat 2 cara untuk mengubah suatu bilangan positif ke bilangan negatif, yaitu menggunakan :
- Sistem bilangan biner komplemen satu
- Sistem bilangan biner komplemen dua
- Cara pertama, merupakan cara yang paling mudah ditempuh. Dengan cara ini, untuk mengubah bilangan positif ke negatif cukup dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner.
Contoh
Bilangan Biner Komplemen Satu
- Sebagai contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai 45. Maka -45 sama dengan 010010.
- 1
0 1
1 0
1“ bilangan biner asli
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 1 0 0 1 0“ bilangan biner komplemen satu - Sistem bilangan komplemen satu jarang digunakan karena tidak memenuhi satu kaedah matematis, yaitu jika suatu bilangan dijumlahkan dengan negatifnya, maka akan dihasilkan bilangan nol.
- 1
0
1
1
0
1
+ 0 1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1 - Pada contoh tersebut, 101101 + 010010 = 111111, sehingga 45 + (-)45 ¹
Bilangan
Biner Komplemen Dua
- Komplemen dua = Komplemen satu + 1
- Contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai 45. Maka -45 sama dengan 010011
- 1
0 1
1
0 1 ”
biner asli
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 1 0 0 1 0 ” biner komplemen satu
1 +
0 1 0 0 1 1 ” biner komplemen dua
Pengubahan
Bilangan Biner Negatif Menjadi Bilanagan Biner Positif
- Pengubahan bilangan biner negatif menjadi bilangan biner positif dilakukan dengan mengurangi bilangan tersebut dengan satu kemudian mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bitnya.
- Contoh:
- 0
1
0
0
1
1 ” biner komplemen dua
1 -
0 1 0 0 1 0 ” biner komplemen satu
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1 0 1 1 0 1 ” biner asli
Kaidah
Matematis Bilangan Biner Komplemen Dua
- Sistem bilangan biner komplemen dua banyak digunakan dalam sistem digital dan komputer karena memenuhi kaidah matematis, yaitu jika suatu bilangan dijumlahkan dengan negatifnya, maka akan dihasilkan bilangan nol.
- 1
0
1
1
0
1
+ 0 1 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0
9 bawaan 1 tidak digunakan - Pada contoh tersebut, bit 1 paling depan merupakaan bit bawaan dan tidak digunakan. Jadi 101101 + 010011 = 000000, sehingga 45 + (-)45 = 0.
Representasi
Bilangan Biner Komplemen Dua
- Pada suatu bilangan biner komplemen dua, harus diperhatikan bit tandanya
- Jika bit tanda sama dengan 0, maka bit sesudahnya merupakan bentuk bilangan biner asli
- Jika bit tanda sama dengan 1, maka bit sesudahnya merupakan bentuk bilangan biner komplemen dua
- Contoh
0101101=
+45des (101101=Biner asli)
1010011=
-45des (010011=Komplemen 2)
Bilangan
Biner Komplemen Dua Khusus
- Terdapat kasus khusus pada sistem bilangan biner komplemen dua. Jika suatu bilangan biner mempunyai bit tanda = 1, namun bit di belakangnya 0 semua, maka nilai bilangan tersebut adalah -2N, dimana N merupakan jumlah bit yang mewakili suatu nilai.
- Contoh:
- 10bin = -21 = -2des
- 1000bin = -23 = -8des
- 10000000bin = -27 = -128des
Format
Penulisan Bilangan Biner
- Bilangan biner biasanya diformat dengan panjang bit tertentu. Panjang bit yang biasa digunakan adalah 2, 4, 8, 16 … dan seterusnya, atau menurut aturan 2n dengan n bilangan bulat positif
- Namun tetap dimungkinkan bilangan biner dengan format di luar ketentuan tersebut demi kepraktisan atau tujuan khusus.
Format
Bilangan Biner Komplemen Dua Positif
- Pengubahan format bilangan biner komplemen dua dari panjang n-bit menjadi m-bit dengan n<m mengikuti aturan berikut :
- Pengubahan format bilangan biner komplemen dua positif dilakukan dengan menambahkan bit 0 di depannya.
- Contoh:
- 4=
0100 “
format 4 bit
0000 0100 “ format 8 bit
0000 0000 0000 0100 “ format 16 bit
Format
Bilangan Biner Komplemen Dua Negatif
- Pengubahan format bilangan biner komplemen dua negatif dilakukan dengan menambahkan bit 1 di depannya.
- Contoh:
- -4= 1100
“
format 4 bit
1111 1100 “ format 8 bit
1111 1111 1111 1100 “ format 16 bit - Perlu diingat pada contoh di atas bahwa bit paling depan merupakan bit tanda, sehingga pada format 4 bit hanya ada 3 bit yang merepresentasikan suatu nilai.
Sistem Kode
- Data yang diproses dalam sistem digital umumnya direpresentasikan dengan kode tertentu
- Terdapat beberapa sistem kode :
- Kode BCD
- Kode Excess-3 (XS-3)
- Kode Gray
- Kode 7 Segment
- Kode ASCII
Mengapa
Sistem Kode ?
- Sistem Bilangan hanya dapat menyajikan bilangan positif saja
- Sistem Kode dapat menyajikan berbagai macam jenis data seperti bilangan, simbol, maupun huruf
- Sistem Kode dapat menyajikan bilangan positif maupun bilangan negatif
Kode BCD
(Binary Coded Decimal)
- Kode BCD ditulis menggunakan kode biner 4 bit untuk merepresentasikan masing-masing digit desimal dari suatu bilangan
- Contoh :
5 2
9 Desimal
0101 0010 1001 BCD
- Dalam Kode BCD terdapat 6 buah kode yang tidak dapat digunakan (Invalid Code) yaitu 1010,1011,1100,1101,1110,1111
- Sehingga hanya ada 10 buah kode yang valid,yaitu kode-kode untuk menyajikan bilangan desimal 0 – 9
Kode
Excess-3 (XS-3)
- Untuk menyusun kode XS-3 dari suatu bilangan desimal, masing-masing digit dari suatu bilangan desimal ditambah dengan 3, kemudian hasilnya dikonversi seperti BCD
- Contoh :
- Ubah bilangan desimal 12 ke kode XS-3
1
2
Desimal
3 +
3 +
4
5
0100
0101
XS-3
Invalid Code
XS-3
- Ada 6 kode XS-3 yang tidak dapat digunakan atau Invalid Code, Yaitu 0000, 0001, 0010, 1101, 1110, dan 1111
- Contoh :
- Ubah kode XS-3 0111 0001 1010 ke desimal !
0111 0001
1010
XS-3
7
1
10
3
- 3 -
3 –
4
-2 7
Desimal
(invalid)
Kode Gray
- Kode Gray biasanya digunakan sebagai data yang menunjukkan posisi dari suatu poros mesin yang berputar
- Cara mengubah bilangan desimal ke kode Gray:
- Contoh : Ubah bilangan desimal 13 ke kode Gray !
13
Desimal
+
+
+
abaikan bawaannya
1
1
0
1
1
0
1
1
kode Gray
Kode
7-Segment
- Adalah piranti yang digunakan untuk menampilkan data dalam bentuk desimal
- Setiap segment dari peraga 7-segment berupa LED yang susunannya membentuk suatu konfigurasi tertentu seperti angka 8
- Ada 2 jenis peraga 7-segment :
- Common Cathode, sinyal tinggi (1)-LED nyala
- Common Anodhe, sinyal rendah (0)-LED nyala
Kode ASCII
- Singkatan dari American Standard Code for Information Interchange
- Adalah kode biner untuk merepresentasikan bilangan, huruf, dan simbol, sehingga biasa disebut juga kode Alfanumerik
- Dalam komunikasi data memungkinkan terjadi kesalahan pada bagian-bagian data. Untuk mendeteksi adanya kesalahan-kesalahan tersebut ditambahkan Bit Paritas (Parity Bit) yang ditempatkan sebagai MSB
Bit Paritas
- Ada 2 Bit Paritas :
- Bit Paritas Genap
- Bit Paritas Ganjil
- Bit Paritas Genap : Nilai bit paritas dipilih sedemikian rupa sehingga jumlah bit 1 dalam suatu kode ASCII (termasuk bit paritasnya) berjumlah genap
- Contoh : Kode ASCII untuk C adalah 1000011
Bit paritas genapnya 11000011
- Bit Paritas Ganjil : Nilai bit paritas dipilih sedemikian rupa sehingga jumlah bit 1 dalam suatu kode ASCII (termasuk bit paritasnya) berjumlah ganjil
- Contoh : Kode ASCII untuk C adalah 1000011
Bit paritas ganjilnya 01000011
Komentar
Posting Komentar